UNIVERSIDAD
NACIONAL EXPERIMENTAL DEL TÁCHIRA
DECANATO
DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN MATEMÁTICA MENCIÓN
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
OPTIMIZACIÓN DE
UN MODELO DE CUERPOS DEFORMABLES PARA LA SEGMENTACIÓN DE LA CAVIDAD VENTRICULAR
USANDO REDES NEURALES Y ALGORITMOS GENÉTICOS
Autor:
Miguel Vera
Tutor:
Msc. Antonio Bravo
San Cristóbal, Enero del 2002
San Cristóbal, 15 de Enero del 2002
Ciudadano
COORDINADOR ACADÉMICO
DECANATO DE POST-GRADO U.N.E.T.
Presente.-
Por medio de la presente me dirijo a usted para presentar formalmente la Propuesta del Trabajo de Grado denominado OPTIMIZACIÓN DE UN MODELO DE CUERPOS DEFORMABLES PARA LA SEGMENTACIÓN DE LA CAVIDAD VENTRICULAR USANDO REDES NEURALES Y ALGORITMOS GENÉTICOS, para optar al Título de Magíster en Matemática, en la especialidad de Educación Matemática, que otorga la Universidad Nacional Experimental del Táchira.
Anexo los recaudos exigidos conforme a las normas sobre esta materia.
Atentamente,
MIGUEL ANGEL VERA
C.I. 9.241.736
San Cristóbal, 15 de Enero del 2002
Ciudadano
COORDINADOR ACADÉMICO
DECANATO DE POST-GRADO U.N.E.T.
Presente.-
Yo, Antonio José Bravo Valero, de Profesión Ingeniero, titular de la Cédula de Identidad N° 9.986.938, por medio de la presente participo a usted mi decisión de aceptar la Tutoría del Trabajo de Grado denominado OPTIMIZACIÓN DE UN MODELO DE CUERPOS DEFORMABLES PARA LA SEGMENTACIÓN DE LA CAVIDAD VENTRICULAR USANDO REDES NEURALES Y ALGORITMOS GENÉTICOS, presentado por el ciudadano Miguel Angel Vera, titular de la Cédula de Identidad N° 9.241.736, para optar al Título de Magíster en Matemática, en la especialidad de Educación Matemática.
Así mismo me comprometo a brindarle todo mi apoyo y experiencia profesional para el desarrollo de dicho trabajo.
Sin otro particular me suscribo de usted,
Atentamente,
ANTONIO JOSÉ BRAVO VALERO
C.I. 9.986.938
1.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. FORMULACION E
IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
La angiografía es un procedimiento
radiológico usado para observar el flujo de sangre, en cualquier órgano del
cuerpo. También permite la visualización y el análisis de los órganos internos
- mediante la utilización de rayos X - luego de la inyección de un producto de
contraste en esas estructuras. Cuando esta técnica es utilizada para visualizar
las cavidades del corazón recibe el nombre de ventriculografía. El objetivo
principal de la ventriculografía, es definir el tamaño y la forma del
ventrículo izquierdo, así como también la visualización de la forma y la
movilidad de estructuras asociadas con las válvulas cardiacas [Bravo 99].
Extraer la forma
ventricular, ha sido uno de los principales problemas encontrados al aplicar
las técnicas de Procesamiento Digital de Imágenes, a imágenes de las cavidades
cardiacas.
La principal técnica aplicada se denomina
segmentación. Su propósito es separar una determinada imagen en un conjunto
finito de grupos no solapados, cada uno de los cuales representa una región u
objeto presente en la escena.
La segmentación de imágenes basada en técnicas de bajo nivel fue la pionera en el
intento de extraer una forma contenida en una imagen radiológica; luego se
implantó el uso de la segmentación de imágenes basada en técnicas de nivel
medio, siendo los modelos de cuerpos deformables una de las técnicas que
ha generado mejores resultados.
El mayor inconveniente presentado por los modelos de cuerpos deformables, es el establecimiento de un conjunto de parámetros o pesos cuya función es la de regularizar el proceso de deformación; así como también la necesidad de definir un grupo de datos que represente el contorno inicial para el modelo a deformar.
Bravo [Bravo 99] afirma:
“...si bien se han propuesto algunos
métodos automáticos basados en técnicas de preprocesamiento de imágenes, para
el establecimiento del contorno inicial; los mismos no han generado resultados
aceptables en el proceso de deformación. De allí, que el proceso de
inicialización de los modelos activos, es un problema abierto y
su solución podría estar relacionada, con la aplicación de técnicas basadas en
inteligencia artificial...”
Analizando
detalladamente la cita anterior, se pueden destacar dos ideas fundamentales. En
primer lugar, que los esfuerzos realizados para dar respuesta al problema de la
inicialización de contornos y de establecimiento de parámetros, no han
producido resultados satisfactorios y por tanto se está en presencia de un problema
abierto y en segundo lugar, que existe la posibilidad de aportar una buena
solución usando Inteligencia Artificial (I.A.).
Entrando ahora en el campo de la I.A.,
los elementos que actualmente se consideran sus representantes operativos
por excelencia, son las redes neurales artificiales que a su vez
constituyen una técnica de segmentación de nivel intermedio y que en este
trabajo se pretende usar para la determinación del modelo inicial.
Por otra parte, la regularización de los parámetros del modelo,
ha sido obtenida aplicando métodos heurísticos y esto constituye un problema el
cual puede ser resuelto usando un mecanismo natural de búsqueda, por lo que se
propone usar algoritmos genéticos para el establecimiento de dichos
parámetros.
En atención al
planteamiento anterior, se propone realizar la siguiente investigación:
¿Permitirá
el uso de redes neurales, establecer los datos adecuados para la representación
del modelo inicial y será posible – además -
generar un conjunto de parámetros mediante algoritmos genéticos, que
posibiliten la regularización del proceso de deformación?.
2.
IMPORTANCIA Y JUSTIFICACIÓN
El solo hecho de constituir un problema
sin solución satisfactoria, le da una connotación muy importante a la
realización de una investigación, encaminada a la detección totalmente
automática de los contornos de imágenes ventriculares.
Además, este trabajo tiene una
justificación de tipo social, ya que de acuerdo a datos aportados por la
Organización Mundial de la Salud, los infartos cardíacos son los causantes del 30% de las muertes
humanas a nivel mundial.
Por otra parte, se puede establecer
una justificación matemática, puesto que para la obtención de este tipo de
imágenes se requiere de todo un conjunto de conceptos y herramientas
matemático-computacionales las cuales serán descritas a su debido momento.
Por último, es indiscutible la necesidad que se tiene de
pasar de la sub-utilización del computador en el área de imagenología cardiaca,
a una utilización plena, mediante la cual se aproveche al máximo todas sus
potencialidades en la obtención automática de las mencionadas imágenes,
contribuyendo de esta forma a la emisión de
diagnósticos médicos cada vez más precisos que permitan mejorar la
calidad de vida de los pacientes aquejados por el funcionamiento - no adecuado
- de un órgano tan vital como el corazón. Se supone que la obtención de
imágenes precisas del ventrículo izquierdo
debe influir positivamente en el tratamiento de algunas de sus
enfermedades.
2.1. ALCANCES Y
LIMITACIONES
La incorporación de las redes neurales y los algoritmos
genéticos como elementos optimizadores, para obtener una solución satisfactoria al problema abierto
relativo al proceso de inicialización de los modelos activos y al
establecimiento de parámetros regularizadores, constituirá una de los logros
fundamentales del presente trabajo.
Otro de los alcances sería el desarrollo de una aplicación computarizada para la generación de imágenes ventriculográficas, lo cual permitiría establecer la eficiencia de este método – totalmente automático - comparándolo con los métodos manuales o semi-automáticos ya existentes.
La principal limitación está representada por las
características propias del sistema de cómputo que se utilice para implementar
las redes neurales requeridas en la presente investigación.
3.
OBJETIVOS
3.1.
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar una aplicación para
computadora personal que permita obtener la forma ventricular izquierda, usando
un modelo de cuerpos deformables optimizado con el uso de redes neurales y
algoritmos genéticos.
3.2.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
3.2.1.
Realizar
una revisión de las técnicas de segmentación de nivel medio, en particular de
los Modelos de Cuerpos Deformables y las
Redes Neurales.
3.2.2.
Destacar
los fundamentos teórico - matemáticos de las redes neurales y los algoritmos
genéticos.
3.2.3.
Diseñar
redes neurales óptimas para la definición de un modelo inicial.
3.2.4.
Diseñar
algoritmos genéticos que permitan resolver el problema de regularización de los
modelos de cuerpos deformables.
3.2.5.
Aplicar
las técnicas de programación que
permitan construir las implantaciones computacionales inherentes al problema
planteado.
3.2.6.
Generar
un protocolo de prueba del modelo optimizado.
3.2.7. Evaluar la eficiencia clínica del modelo optimizado.
4.1.
ANTECEDENTES
En 1970, [Covvey 70] desarrolla uno de los primeros métodos para la detección automática del contorno ventricular, el cual utiliza una técnica de umbral fijo para procesar una secuencia de video, con imágenes que deben tener buena calidad de contraste para obtener buenos resultados.
En 1986, [Boecker 86], intenta detectar los contornos ventriculares a partir de imágenes sustraídas logarítmicamente, luego de aplicarle un filtro basado en el operador de Marr y Hildreth [Marr 80]. En este mismo año, [Leeuwen 86] describe un método para la detección automática de los contornos ventriculares sobre cineangiogramas contrastados según la incidencia Oblicua Anterior Derecha (OAD), dicho método era inicializado por tres puntos de referencia sobre el contorno, dos de ellos colocados a nivel de la válvula aórtica y el tercero a nivel del ápex; luego, un modelo derivado de un conjunto de contornos trazados manualmente, se hace corresponder con esos tres puntos y los atributos del contorno son extraídos según líneas ortogonales al contorno asumido.
Otro enfoque para determinar el contorno ventricular ha sido propuesto por Figueiredo [Figueiredo 92], donde el problema de segmentación se estudia desde el punto de vista de estimación Bayesiana. El modelo de contorno se establece de acuerdo a un sistema en coordenadas polares, cuyo centro está en correspondencia con el centro de gravedad de la forma ventricular. Los niveles de gris según un radio del sistema establecido es modelado como un escalón invertido y a partir de él, una función de probabilidad es definida por los niveles de gris de la imagen como función de la longitud de los radios considerados para la descripción en coordenadas polares. Este proceso permite la estimación simultánea de parámetros asociados al modelo de maximización de la función de energía de Cliques, de manera que se genera un contorno bien adaptado a los datos iniciales. El contorno es deformado para obtener la máxima probabilidad condicional según un algoritmo AICM (algoritmo en modo condicional iterado).
Medina [Medina 95], propone un método de segmentación de imágenes angiográficas del ventrículo utilizando agrupamiento difuso. El método permite la detección ventricular sin embargo, resulta costoso desde el punto de vista computacional. Recientemente Olivier [Olivier 98], propone un método para la detección automática de contornos por codificación de conocimiento en modelos de contorno activo. Este método está basado en la idea de introducir información en los procesos de segmentación por contornos activos. Con él se superan los inconvenientes de contornos activos como la dependencia del modelo inicial y el uso exclusivo de información local. Una red neural multiresolución es usada para encontrar automáticamente un contorno inicial, y un algoritmo de programación dinámica se encarga de implantar el proceso de detección.
Las técnicas de segmentación de imágenes se basan en la organización o agrupamiento de un conjunto de formas, donde las principales características para esa organización son la proximidad, similaridad y continuidad. En imágenes médicas estas técnicas se utilizan para la identificación de estructuras anatómicas ya que las mismas permiten particionar la imagen en un conjunto no solapado de regiones, cuya unión es la imagen completa [Bravo 99].
En procesamiento de imágenes ventriculográficas, una de las técnicas más usadas para la extracción de información es la segmentación de imágenes. La segmentación es una etapa esencial para la reconstrucción tridimensional del ventrículo izquierdo y para la determinación de parámetros asociados a la función ventricular [Bravo 99]. En la actualidad, se desarrollan esfuerzos para realizar la detección automática de los contornos de las imágenes ventriculares [Olivier 98], sin embargo no se ha encontrado aún ningún método capaz de resolver este problema de manera precisa y automática, adicionalmente las técnicas existentes no han sido validadas clínicamente.
4.2.
REVISIÓN
BIBLIOGRÁFICA
Uno de los aspectos más importantes en la generación de imágenes por computadora, es el reconocimiento de objetos de una escena en particular. El reconocimiento de objetos se basa en las técnicas de extracción de formas, las cuales deben cumplir con tres propiedades básicas: ser suficientemente generales, permitir la extracción del objeto de la escena que lo contiene y facilitar la comparación con formas similares [Bravo 99].
Las técnicas de segmentación en imágenes médicas pueden ser clasificadas en tres categorías: de bajo, medio y alto nivel. Sin embargo, para la presente investigación, es de interés realizar una revisión de la segmentación basada en las técnicas de nivel medio.
Una de las técnicas ubicadas en la categoría mencionada, la constituyen LOS MODELOS DEFORMABLES, los cuales de acuerdo a Radeva [Radeva 95], son modelos físicos de objetos que se deforman bajo las leyes de la mecánica de Newton, en particular por la teoría de elasticidad expresada en la dinámica de Lagrange y son utilizados como una poderosa herramienta para la representación, reconstrucción, reconocimiento y manipulación de curvas no rígidas, superficies y sólidos; de allí que es una de las técnicas de mayor rango de aplicación en el análisis de imágenes [Terzopoulos 91] [Kervrann 98]. En los últimos años, se ha tratado de diseñar e implantar sistemas de detección automática basados en modelos deformables [Olivier 98], los cuales logran dar solución al problema de segmentación en dos fases, la primera de ellas se encarga de obtener la aproximación inicial deseada de manera automática. En una segunda fase la aproximación inicial encontrada, sirve como contorno inicial de un modelo deformable.
Es importante obtener una visión global de esta técnica de tratamiento de imágenes ya que los mencionados modelos deformables han sido usados para la segmentación, visualización, seguimiento y cuantificación de órganos tales como: corazón, cerebro, pulmón, hígado, vasos sanguíneos; en modalidades imagenológicas como rayos X, tomografía computarizada, angiografía, resonancia magnética y ultrasonido [Singh 98].
LAS REDES NEURALES artificiales, son otra de las técnicas de segmentación de imágenes, basadas en la noción de que la red neural puede reducir los requerimientos de experticia del usuario en el problema de la segmentación. Estas técnicas están esencialmente basadas en la extracción de la forma haciendo uso de las características de la imagen que la contiene. Ling segmentó imágenes de rayos X y tomografía computarizada usando un algoritmo de redes neurales [Ling 91]. La segmentación de imágenes, es formulada como un problema de satisfacción de restricciones donde una red neural es utilizada para realizar este proceso. Venonin adopta estas técnicas para segmentar imágenes ópticas [Venonin 92]. Sundaramoorthy usa características especiales basadas en formas para segmentar imágenes médicas usando redes neurales [Sundaramoorthy 93].
La obtención de contornos mediante redes neurales consta de dos etapas, a saber: extracción mediante algoritmo de atributos de la forma y uso de la red neural para la segmentación a partir de la información obtenida en la etapa anterior.
El algoritmo utilizado para la extracción de características junto con la red neural ya entrenada, forman un sistema de detección automática de contornos, que recibe como entrada una imagen, a la cual se le extraen ciertos atributos que se utilizan para obtener la imagen segmentada.
LOS ALGORITMOS GENÉTICOS establecen una analogía entre el conjunto de soluciones de
un problema y el conjunto de individuos de una población natural, codificando
la información de cada solución en un string (vector binario) a modo de
cromosoma. En palabras de Holland: "Se pueden encontrar soluciones
aproximadas a problemas de gran complejidad computacional mediante un proceso
de evolución simulada". [Stuart
99]
A tal efecto se introduce una función de
evaluación de los cromosomas, que llamaremos calidad (fitness) y que
está basada en la función objetivo del problema. Igualmente se introduce un
mecanismo de selección de manera que los cromosomas con mejor evaluación sean
escogidos para reproducirse mas a menudo que los que la tienen peor.
Los algoritmos desarrollados por Holland
inicialmente eran sencillos pero dieron buenos resultados en problemas
considerados difíciles. Los Algoritmos Genéticos están basados en integrar e
implementar eficientemente dos ideas fundamentales: Las representaciones
simples como strings binarios de las soluciones del problema y la realización
de transformaciones simples para modificar y mejorar estas representaciones.
Para llevar a la práctica el esquema anterior y
concretarlo en un algoritmo, hay que especificar los siguientes elementos:
· Una representación cromosómica
· Una población inicial
· Una medida de evaluación
· Un criterio de selección / eliminación de cromosomas
· Una o varias operaciones de recombinación
· Una o varias operaciones de mutación.
En los trabajos originales las soluciones se
representaban por strings binarios, es decir, listas de 1s y 0s. Este tipo de
representaciones ha sido ampliamente utilizada incluso en problemas en donde no
es muy natural hacerlo.
4.3.
BASES
TEÓRICAS
En un intento por profundizar en el conocimiento de las variables principales que integran la investigación planteada, a continuación se hace referencia a un conjunto de elementos que permitirán construir una visión más clara de las mismas.
Haciendo referencia a los modelos de cuerpos deformables, [Bravo 99] propone realizar el proceso de deformación mediante la aplicación de reglas físicas básicas, lo cual -sin duda- constituye una importante novedad que mejora el proceso teórico de deformación, puesto que se evita la resolución explícita de un sistema de ecuaciones lineales estático y se hace uso, en vez de ello, de un sistema de ecuaciones dinámicas que modelan el comportamiento de los contornos requeridos para la deformación.
Por otra parte, antes de hacer referencia a las redes neurales y a los algoritmos genéticos, es importante hacer una revisión que permita ubicar estas variables como elementos de alguna disciplina o técnica que las revistan del carácter científico que deben poseer como parte integrante de una investigación de esta naturaleza. En atención a ello se presenta la siguiente información.
La Cibernética es una ciencia interdisciplinaria que trata de los sistemas de comunicación y control en los organismos vivos, las máquinas y las organizaciones. La palabra, que proviene del griego kyberneees ('timonel' o 'gobernador'), fue aplicada por primera vez en 1948 por el matemático Norbert Wiener a la teoría de los mecanismos de control [Microsoft Encarta2000]. La cibernética también se aplica al estudio de la inteligencia artificial, los servomecanismos, la Economía, y la Neurofisiología.
La palabra cibernética ha dejado de identificar un área independiente de estudio y la mayor parte de la actividad investigadora se centra ahora en el estudio y diseño de redes neurales artificiales.
En este sentido, el término I.A. se ha aplicado a sistemas y programas informáticos capaces de realizar tareas complejas, simulando el funcionamiento del pensamiento humano. En esta esfera, los campos de investigación más importantes son el procesamiento de la información, el reconocimiento de modelos, los juegos y las áreas aplicadas como el diagnóstico médico. Actualmente existen dos tendencias en cuanto al desarrollo de sistemas de I.A: los sistemas expertos y las redes neurales. Los sistemas expertos intentan reproducir el razonamiento humano de forma simbólica. Las redes neurales lo hacen desde una perspectiva más biológica, recrean la estructura de un cerebro humano utilizando algoritmos genéticos como elementos de optimización
Las redes neurales son un modelo artificial de neuronas,
consistente usualmente de una computadora
provista de nodos, células interconectadas o unidades individuales que pueden
poseer uno de dos valores, sí o no, con enlaces calibrados para tener valores
numéricos llamados pesos para dejar pasar flujos de potencial. Dichos flujos
adquieren patrones dictados por el peso de los enlaces.
El interés por las redes neurales es debido a que fueron
diseñadas para que su capacitación se realice mediante un algoritmo de
aprendizaje inductivo. Una vez inicializada la red, ésta puede ser modificada
para mejorar su eficiencia en los pares de entrada/salida.
En atención a la
no-linealidad de las unidades individuales, se puede afirmar que las
redes neurales desde un punto de vista estadístico realizan un proceso conocido
con el nombre de regresión no lineal y en este sentido se pueden considerar
como un modelo estadístico sujeto a sobrecompensación.
Cuando se consideran redes con una estructura fija,
definidas por una entrada externa, se presenta una debilidad en potencia puesto
que la elección errónea de la estructura de la red provocará un mal desempeño.
En este orden de ideas, si la red es muy pequeña, el modelo no podrá representar la función
deseada y si la red es muy grande, difícilmente podrá generalizar de manera
adecuada las entradas en las que no se haya entrenado con anterioridad.
En cuanto a los algoritmos genéticos uno de los aspectos mas importantes que se debe considerar es la Convergencia del Algoritmo, tópico que a continuación se desarrolla.
Dado que el algoritmo genético opera con una población en cada iteración, se espera que el método converja de modo que al final del proceso la población sea muy similar, y en el infinito se reduzca a un sólo individuo.
Se ha desarrollado toda una teoría para estudiar la convergencia de estos algoritmos en el caso de strings binarios. Esta teoría se basa principalmente en considerar que un string es un representante de una clase de equivalencia o esquema, reinterpretando la búsqueda en lugar de entre strings, entre esquemas. De este modo se concluye lo que se conoce como paralelismo intrínseco:
"En una población de m strings se están procesando implícitamente en orden de magnitud m3 esquemas" .
A partir de este resultado el teorema de esquemas prueba que la población converge a unos esquemas que cada vez son más parecidos, y en el límite, a un único string.
En el caso de strings no binarios se introducen los conceptos de forma y conjunto de similitud que generalizan al de esquema. Se consideran una serie de condiciones sobre los operadores de manera que se garantice la convergencia.
Básicamente se exige que al cruzar dos strings de la misma clase se obtenga otro dentro de ésta. Además hay que respetar ciertas condiciones sobre selección de los progenitores. Bajo toda esta serie de hipótesis se prueba la convergencia del algoritmo.
En la práctica no se suelen respetar las condiciones vistas ya que son difíciles de seguir y probar, encontrándonos con que, en ocasiones los algoritmos genéticos resuelven satisfactoriamente un problema de optimización dado y otras se quedan muy alejados del óptimo.
Los estudiosos del tema han tratado de caracterizar lo que han denominado problemas AG-fáciles (aquellos en los que los AG proporcionan buenos resultados) y AG-difíciles con el objetivo de saber de antemano, al estudiar un nuevo problema, si los AG son una buena elección para su resolución.
Se han tratado de caracterizar estas clases mediante el concepto de engaño considerando que si el algoritmo converge al mejor esquema (aquel con mejor promedio del fitness de sus strings) y en éste se encuentra el óptimo, entonces es fácil que se resuelva satisfactoriamente. En caso de que el óptimo esté en un esquema con bajo promedio se denomina engaño y se pensaba que en estos casos es cuando el problema es AG-difícil. Sin embargo se ha visto que esta caracterización mediante el engaño no es siempre cierta y no constituye un criterio fiable.
Es importante citar que, a diferencia de otros métodos metaheurísticos, los Algoritmos Genéticos han crecido de forma espectacular, hasta el punto de poder encontrar referencias sobre ellos en revista de informática de carácter general. Además muchos de los investigadores de este campo están trabajando en desarrollar los aspectos teóricos de la materia incorporando algunas otras técnicas de búsqueda local en el esquema genético.
5.1.
TIPO DE
INVESTIGACIÓN
La investigación es aplicada y será realizada como un proyecto de desarrollo de tipo analítico – constructivo. Es de carácter analítico por cuanto mediante él, se hace un estudio detallado de la situación actual en la que se encuentra la problemática formulada. Se considera constructivo porque se diseñará un modelo como alternativa de solución al problema planteado.
5.2.
ETAPAS DE
DESARROLLO DEL MODELO.
A.- Fase de Diseño:
q Con el propósito de establecer el contorno inicial y los parámetros regularizadores, se desarrollarán los implantes computacionales necesarios, utilizando para ello el Lenguaje de programación Visual C++.
q Una vez automatizado el contorno inicial, se hará uso de un Modelo de Cuerpo Deformable para obtener las imágenes mencionadas.
B.- Fase Experimental:
q Se realizarán todas las pruebas de verificación necesarias hasta obtener un nivel de error, que permita establecer si la eficiencia del modelo desarrollado es o no aceptable en términos de los parámetros estándar, establecidos con anterioridad.
6.1.
RECURSOS
Todos los gastos
generados por la realización del presente trabajo de investigación serán
cubiertos, en su totalidad, por quien realiza la misma.
6.2.
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES
FECHA |
ACTIVIDAD |
|
01-10-2001 al
15-11-2001 |
Revisión bibliográfica |
|
16-11-2001 al
15-12-2001 |
Planteamiento del
Problema |
|
16-12-2001 al
31-01-2002 |
Descripción del marco
teórico |
|
01-02-2002 al
30-03-2002 |
Diseño de la
investigación |
|
01-04-2002 al
31-12-2002 |
Desarrollo de la
investigación por objetivo específico |
|
01-01-2003 al
14-02-2003 |
Análisis e interpretación
de la investigación |
|
15-02-2003 al
15-03-2003 |
Descripción y detalles de
los objetivos específicos para lograr el objetivo general |
|
16-03-2003 al
30-04-2003 |
Transcripción del trabajo
final |
|
01-05-2003 al
10-05-2003 |
Entrega y exposición del
trabajo final |
6.3.
DIAGRAMA
DE AVANCE
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AÑO 2001 |
AÑO 2002 |
|||||||||||||
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ACTIVIDADES |
Oct. |
Nov. |
Dic. |
Ene. |
Feb. |
Mar. |
Abr. |
May. |
Jun. |
Jul. |
Ago. |
Sep. |
Oct. |
Nov. |
Dic. |
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Revisión Bibliográfica |
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Planteamiento del Problema |
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Descripción del marco teórico |
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Diseño de la investigación |
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|
Desarrollo de la investigación por
objetivo especifico |
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AÑO 2003 |
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ACTIVIDADES |
Ene. |
Feb. |
Mar. |
Abr. |
May. |
Jun. |
Jul. |
Ago. |
Sep. |
Oct. |
Nov. |
Dic. |
|
Análisis e interpretación
de la investigación |
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Descripción
y detalles de los objetivos específicos que permitan lograr el objetivo
general |
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Transcripción del
trabajo final |
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Entrega y
exposición del trabajo final |
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[Boecker
86] Boecker Y., Witte G.,
Hoehne K., “Experiments with Three-Dimensional Reconstrution of Ventriculograms
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[Olivier
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[Veronin
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Enlaces en Internet Genetic Algorithms, http://www.geocities.com/CapeCanaveral/9802/3d5ca000.htm
Introducción a los Algoritmos
Genéticos,